Question

17．如图，正方形ABCD中，AB=2，点E是AB上一点，将正方形沿CE折叠，点B落在正方形内一点B'处，若△AB'D为等腰三角形，则BE的长度为4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是正方形，得到AB=BC=CD=AD，
①当AD=B′D时，如图1，由翻折的性质得，B′C=BC，推出△CDB′是等边三角形，得到∠B′DC=60°，∠ADB′=30°，过B′作B′G⊥AD于G，B′F⊥AB于F，根据勾股定理得到BE=4-2$\sqrt{3}$；②当AB′=B′D时，如图2，则B′在AD的垂直平分线上，推出B′在BC的垂直平分线上，得到BB′=CB′，由翻折的性质得，B′C=BC，推出△BB′C是等边三角形，解直角三角形得到BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，③当AB′=AD时，则AB=AB′，推出EC垂直平分BB′，得到A与E重合，B′与D重合，不符合题意，舍去．于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
①当AD=B′D时，如图1，
由翻折的性质得，B′C=BC，
∴B′D=B′C=CD，
∴△CDB′是等边三角形，
∴∠B′DC=60°，
∴∠ADB′=30°，
过B′作B′G⊥AD于G，B′F⊥AB于F，
∴AF=B′G=$\frac{1}{2}$×2=1，DG=$\sqrt{3}$，
∴AG=FB′=2-$\sqrt{3}$，
∵BE=B′E，EF=1-BE，
∴（2-$\sqrt{3}$）²+（1-BE）²=BE²，
∴BE=4-2$\sqrt{3}$；
②当AB′=B′D时，如图2，
则B′在AD的垂直平分线上，
∴B′在BC的垂直平分线上，
∴BB′=CB′，
由翻折的性质得，B′C=BC，
∴△BB′C是等边三角形，
∴∠BCE=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
③当AB′=AD时，则AB=AB′，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
∴A与E重合，
∴B′与D重合，不符合题意，舍去．
综上所述，BE的长为4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．