Question

问题：已知一组平行直线a∥b∥c，求作等边三角形ABC，使点A、B、C分别在直线a，b，c上．
小明同学作法如下：如图，过点A作AM⊥b于M，作∠MAN=60°，且AN=AM，过点N作CN⊥AN交直线c于点C，在直线b上取点B使BM=CN，则△ABC为所求．

（1）请证明小明的作法是正确的．
（2）请你参考小明的作法，在图2中画出顶角为30°的等腰三角形DEF，使点D、E、F顺次在直线a，b，c，上，且∠EDF为顶角；
（3）在图1中，若直线a，b之间的距离为1，直线b，c之间的距离为2，计算AC的长度．

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图

专题：

分析：（1）利用△AMB≌△ANC，得出AB=AC，∠CAN=∠BAM，得出∠BAC=∠MAN=60°，可证得△ABC是等边三角形，
（2）过点D作DM⊥b于M，作∠MAN=30°，且DN=DM，过点N作FN⊥DN交直线c于点F，在直线b上取点E使EM=FN，则△DEF为所求．
（3）在图1中，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，由勾股定理先求出CN的值就可以求出AC的值．

解答：证明：（1）∵AM⊥b于M，CN⊥AN，
∴∠AMB=∠ANC=90°，
∵AN=AM，BM=CN，
在△AMB和△ANC中，

AN=AM ∠ANC=∠AMB CN=BM

，
∴△AMB≌△ANC（SAS），
∴AB=AC，∠CAN=∠BAM
∵∠MAN=60°，
∴∠BAC=∠MAN=60°，
∴△ABC是等边三角形，
（2）如图2，过点D作DM⊥b于M，作∠MAN=30°，且DN=DM，过点N作FN⊥DN交直线c于点F，在直线b上取点E使EM=FN，则△DEF为所求．

（3如图1，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，

∴∠AHN=∠NGC=90°．
∵∠MAN=60°，
∴∠HAN=30°，
∴HN=

1

2

AN，∠ANH=60°，
∵AM=AN=1，
∴HN=0.5．
∴HG=2.5．
∵CN⊥AN，
∴∠ANC=90°，
∴∠ANH+∠CNG=90°，
∴∠CNG=30°，
∴CN=2CG，
在Rt△CGN中，由勾股定理，得
4CG²-CG²=

25

4

，
CG=

5 3

6

，
∴CN=

5 3

3

，
在Rt△ANC中，由勾股定理，得
AC²=（

5 3

3

）²+1，
AC=

2 21

3

．

点评：本题考查了作图的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质的运用，解答时合理运用全等三角形的性质是关键．