Question

已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n
项积记为.
（Ⅰ）求数列的最大项和最小项；
（Ⅱ）判断与的大小， 并求为何值时，取得最大值；
（Ⅲ）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这
些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列。
（参考数据）

Answer 1

解：（Ⅰ）
①  当n是奇数时，, 单调递减，,
②  当n是偶数时，, 单调递增，；
综上，当n=1时，; 当n=2时，.                               ………………………4分 
（Ⅱ），
，
，
则当时，；当时，，……7分 
又，
的最大值是中的较大者.
，，
因此当n=12时，最大.                       ………………………9分 
（Ⅲ）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.
①当n是奇数时，调整为.则
，，
成等差数列；           ………………………11分 
②当n是偶数时，调整为；则
，，
成等差数列；
综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.……12分 
①n是奇数时，公差；
②n是偶数时，公差.
无论n是奇数还是偶数，都有，则，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列.      ………………………14分 解析:
略