Question

18．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，若点F是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点F，使△BCF的面积最大？若存在，求出定F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，再求出直线BC的解析式，由题意得出当△BCF的面积最大时，与直线BC平行的直线与抛物线只有一个交点，即为F，由这条直线与抛物线解析式组成方程组有唯一解求出点F的坐标即可．

解答 解：存在点F，点F坐标为：（2，3）；理由如下：
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x=4，或x=-1，
∴A（-1，0），B（4，0）；
当x=0时，y=2，
∴C（0，2）；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当△BCF的面积最大时，与直线BC平行的直线与抛物线只有一个交点，即为F，
如图所示：设这条直线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+a，
方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+a}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$ 有唯一解时，
-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$x+a有两个相等的实数解，
整理得：x²-4x+2a-4=0，
∴△=（-4）²-4×1×（2a-4）=0，
解得：a=4，
方程组的解为：x=2，y=3，
∴点F的坐标为：（2，3）．

点评 本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法、一次函数解析式的求法、一元二次方程根的判别式、解方程组；熟练掌握抛物线与坐标轴的交点特征是解决问题的关键．