Question

如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD与BC相交于点E，BE＞EC，AB=2

3

，AE=2，BC=6．
（1）求DE的长；
（2）求BE的长；
（3）证明：BD是⊙O的直径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先利用AB=AC，得出∠ABC=∠C，进而证明△ABE∽△ADB，即可得出DE=AD-AE的长；
（2）首先得出△AEC∽△BED，进而求出BE的长；
（3）利用AB=2

3

，AE=2，BE=4，得出BE²=AB²+AE²，进而得出∠BAD=90°，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠D=∠C，
∴∠ABC=∠D．
∵∠BAD=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．               
∴

AE

AB

=

AB

AD

．
∵AB=2

3

，AE=2，
∴

2

2 3

=

2 3

AD

．
∴AD=6．                         
∴DE=AD-AE=6-2=4．
              
（2）∵∠CAD=∠CBD，∠C=∠D，
∴△AEC∽△BED．                
∴

AE

BE

=

CE

DE

．
∵AE=2，DE=4，BC=6，
∴

2

BE

=

6-BE

4

．
∴BE=2或 BE=4．                  
∵BE＞EC，∴BE=4．
              
（3）证明：∵AB=2

3

，AE=2，BE=4，
∴BE²=AB²+AE²．               
∴∠BAD=90°．
∴BD是⊙O的直径．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理、勾股定理逆定理等知识，正确得出相似三角形是解题关键．