Question

19．已知a，b，c是△ABC的三边长，方程$\frac{27}{4}$x²+3（a+b+c）x+（a²+b²+c²）=0有两个相等实根，请判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由已知可得△=0，从而化简可得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，继而可知a=b=c．

解答 解：∵方程$\frac{27}{4}$x²+3（a+b+c）x+（a²+b²+c²）=0有两个相等实根，
∴△=[3（a+b+c）]²-4×$\frac{27}{4}$×（a²+b²+c²）=9（a+b+c）²-27（a²+b²+c²）=0，
∴（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），
解得：ab+ac+bc=a²+b²+c²，
∴2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc，
∴a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，考查了三角形形状的判断，解题的关键是根据根的判别式为0化简得出关于a、b、c间关系的等式．