Question

5． 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，若AB=5，BC=6，求BD的长．（提示：把△DCB绕点C顺时针旋转60°到ACB′，连BB′）

Answer 1

分析 把△DCB绕点C顺时针旋转60°到ACB′，连BB′，首先证明△DCB≌△ACB′，推出BD=AB′，再证明△ABB′是直角三角形，利用勾股定理求出AB′即可解决问题．

解答 解：把△DCB绕点C顺时针旋转60°到ACB′，连BB′，

∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴DC=AC，∠ACD=60°，
∵∠ACD=∠BCB′=60°，
∴∠DCB=∠ACB′，
在△DCB和△ACB′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠DCB=∠ACB′}\\{BC=CB′}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△ACB′，
∴BD=AB′，
∵BC=CB′，∠BCB′=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠CBB′=60°，∵∠ABC=30°，
∴∠ABB′=∠ABC+∠CBB′=90°，
∴AB′=$\sqrt{A{B}^{2}+B′{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
∴BD=AB′=$\sqrt{61}$．

点评 本题考查旋转变换，等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．