Question

若x为整数，3＜x＜200，且x²+（x+1）²是一个完全平方数，则整数x的值等于

20或119

．

Answer 1

分析：可设x²+（x+1）²=v²，则（2x+1）²=2v²-1．令u=2x+1，则u²-2v²=-1．即佩尔方程，求出其正整数解，从而得到整数x的值．

解答：解：设x²+（x+1）²=v²，则（2x+1）²=2v²-1．
令u=2x+1，则u²-2v²=-1．
其为佩尔方程，其基本解为（u₀，v₀）=（1，1）．
其全部正整数解可由un+vn=（u₀+v₀）²n+1得到．
其中，（u₁，v₁）=（7，5），（u₂，v₂）=（41，29），（u₃，v₃）=（239，169），u₄＞400．
故x=20或119．
故答案为：20或119．

点评：本题考查了完全平方数和解佩尔方程，解题的关键是得出佩尔方程，求得其正整数解．