Question

（2013•历下区二模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图1，当A′B′∥CB时，设CB′与AB相交于点D．求证：△ACD是等边三角形；
（2）如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S_△ACA′ 和S_△BCB′．求证：S_△ACA′：S_△BCB′=1：3；
（3）如图3，设AC中点为E，A′B′中点为 P，AC=a，连接EP，当θ=

60

度时，EP长度最小，最小值为

1

2

a

．

Answer 1

分析：（1）求出∠A′B’C=∠B′=30°，求出∠ACB’=60°，得出∠ACB’=∠A=∠ADC=60°，即可推出等边三角形；
（2）证△ACA′∽△BCB′，得出相似比为AC：BC=1：

3

，即可求出答案；
（3）求出AB=A′B′=2a，A′C=AC=a，求出CP=

1

2

A′B′=a，得出A和P重合，即可求出EP=EA=

1

2

AC=

1

2

a．

解答：（1）证明：∵A′B′∥CB，
∴∠A′B’C=∠B′=30°，
∴∠ACB’=60°．
又∵∠A=60°，
∴∠ACB’=∠A=∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形．

（2）证明：∵∠ACA′=∠BCB′，AC=A′C，BC=B′C，
∴△ACA′∽△BCB′，
相似比为AC：BC=1：

3

，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=1：3．

（3）解：当θ=60°时，EP值最小，
∵△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=a，
则AB=A′B′=2a，A′C=AC=a，
∵P为A′B′中点，∠A′CB′=90°，
∴CP=

1

2

A′B′=a，
当θ=60°时，EP的值最小，
∵AC=A′C，∠A′CA=90°-（90°-60°）=60°，
∴△A′CA是等边三角形，
∴A′A=CA=a，
即A和P重合，
∴EP=EA=

1

2

AC=

1

2

a，
故答案为：60，

1

2

a．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．