Question

在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：FG=FB；
（2）如图2，连接BD、AC，若BD=BG，求证：AC∥BF；
（3）在（2）的条件下，若tan∠F=

3

4

，CD=1，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OC，OB，若要证明FG=FB，只要转化为证明∠FGB=∠FBG即可；
（2）由已知条件易证∠DGB=∠GDB，因为∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，所以∠CAB=∠BDC，进而可证明∠CAB=∠GBF，则AC∥BF；
（3）根据垂径定理求得CE=

1

2

．由（2）得∠FBG=∠CAG，再根据已知条件易证∠ACE=∠F，所以tan∠F=tan∠ACE=

3

4

，易求AE的长度．设⊙O的半径为R，在Rt△CEO中，CO²=CE²+OE²R²=4²+（R-3）²，解方程求出R的值即可．

解答：证明：（1）如图1，连接OB，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠OBF=90°，
∴∠OBA+∠GBF=90°，
∵OA⊥CD，
∴∠AEG=90°，
∴∠AGE+∠EAG=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠AGE=∠FBG，
∵∠AGE=∠FGB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB；              
（2）∵BD=BG，
∴∠DGB=∠GDB，
∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠BDC，
∴∠CAB=∠FGB，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAB=∠GBF，
∴AC∥FB；                    
（3）∵OA⊥CD，CD=1，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

．
由（2）得∠FBG=∠CAG，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAG=∠FGB，
∵∠FGB=∠CGA，
∴∠CGA=∠CAG，
∴CA=CG，
∵AC∥BF，
∴∠ACE=∠F，
∴tan∠ACE=tan∠F，
∵tan∠F=

3

4

，
∴tan∠ACE=

3

4

∴

AE

CE

=

3

4

，即

AE

1 2

=

3

4

，
∴AE=

3

8

．
连接OC，设⊙O的半径为R，在Rt△CEO中，
CO²=CE²+OE²，即R²=

1

4

²+（R-

3

8

）²
解得R=

25

48

，
即⊙O的半径为

25

48

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握和各种几何图形有关的定理及性质是解本题的关键．