Question

11．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF²=BE²+DF²．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．

解答 证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠QAE=45°，
∴∠QAE=∠FAE，
在△AQE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AF}\\{∠QAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；

（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，
QB²+BE²=QE²，
则EF²=BE²+DF²．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．