Question

20．如图，矩形OABC，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与AB交于点E，与BC交于点F，点E是AB的中点，连接OE、OF、EF．
（1）若点B的坐标为（6，8），则k=24，点F坐标为（3，8）；
（2）①已知：k=16，求△BEF的面积；
     ②已知：S_{四边形BEOF}=12，求k；
（3）连接OB，OB与EF相交于点G，请你直接写出线段BG与线段OG的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由点E是AB的中点结合点B的坐标，即可得出点E的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再结合点F的纵坐标即可求出点F的坐标；
（2）①设点E（m，$\frac{16}{m}$），则B（m，$\frac{32}{m}$），F（$\frac{1}{2}$m，$\frac{32}{m}$），利用三角形的面积公式即可求出△BEF的面积；②设点E（n，$\frac{k}{n}$），则B（n，$\frac{2k}{n}$），F（$\frac{1}{2}$n，$\frac{2k}{n}$），利用分割图形求面积法求出S_{四边形BEOF}=k，由此即可得出结论；
（3）连接OB，过点B作BM⊥EF于点M，过点O作ON⊥EF于点N，由S_△OEF和S_△BEF之间的比例结合相似三角形的性质即可得出OG=3BG．

解答 解：（1）∵点E是AB的中点，点B的坐标为（6，8），
∴E（6，4），
∵点E、F在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=6×4=24，24÷8=3，
∴F（3，8）．
故答案为：24；（3，8）．
（2）①∵k=16，
∴设点E（m，$\frac{16}{m}$），则B（m，$\frac{32}{m}$），F（$\frac{1}{2}$m，$\frac{32}{m}$），
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$×（$\frac{32}{m}$-$\frac{16}{m}$）×（m-$\frac{1}{2}$m）=4．
②设点E（n，$\frac{k}{n}$），则B（n，$\frac{2k}{n}$），F（$\frac{1}{2}$n，$\frac{2k}{n}$），
∵S_{四边形BEOF}=S_矩形ABCD-S_△OAE-S_△OCF=n•$\frac{2k}{n}$-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k=k=12，
∴k=12．
（3）OG=3BG，理由如下：
连接OB，过点B作BM⊥EF于点M，过点O作ON⊥EF于点N，如图所示．
∵S_{四边形BEOF}=k，S_△BEF=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{2}$n）•（$\frac{2k}{n}$-$\frac{k}{n}$）=$\frac{1}{4}$k，
∴S_△OEF=S_{四边形BEOF}-S_△BEF=$\frac{3}{4}$k，
∴点O到EF的距离为点B到EF距离的3倍．
则易证△ONG∽△BMG，
∴OG=3BG．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）①利用三角形的面积公式求出S_△BEF的值；②找出S_{四边形BEOF}=k；（3）利用面积间的关系找出OG=3BG．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，设出点E的坐标，表示出B、F的坐标是关键．