Question

10．如图，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）交于A，B两点，与x轴，y轴交于点D，E，tan∠ADO=1，过点A作AC⊥x轴于点C，若点O是CD的中点，连结OA．
（1）求该双曲线的解析式；
（2）求cos∠OAC的值．

Answer 1

分析 （1）首先求得直线与y轴的交点坐标，然后利用三角函数求得OD的长，进而求得AC和OC的长，从而求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）在直角△OAC中，利用勾股定理求得OA的长，然后利用余弦函数的定义求解．

解答 解：（1）在y=kx+1中令x=0，解得y=1，
则E的坐标是（0，1），则OE=1．
∵tan∠ADO=$\frac{OE}{OD}$=1，
∴OD=OE=1，
又∵O是CD的中点，
∴OC=OD=1，CD=2．
∵tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=1，
∴AC=2，
∴A的坐标是（1，2）．
把（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2，
则反比例函数的解析式是y=$\frac{2}{x}$；

（2）在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则cos∠OAC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角函数的定义，理解三角函数的定义，求得A的坐标是关键．