Question

17．如图：△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EG⊥AB于G，EF⊥AC交AC的延长线于F，BG与CF的大小关系如何？并证明你的结论．

Answer 1

分析 连接BE、CE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EG=EF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE，然后利用“HL”证明Rt△△EG和Rt△FEC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：BG=CF．
理由如下：如图，连接BE、CE，
∵AE是∠BAC的平分线，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴EG=EF，
∵D为BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
在Rt△△EG和Rt△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{EG=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△△EG≌Rt△FEC（HL），
∴BG=CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记各性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键．