Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=12cm，点P从A出发沿AC向C点以1cm/s的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以$\sqrt{3}$cm/s的速度匀速移动，点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒；点O为AB的中点．
（1）当t=2时，求线段PQ的长度；
（2）连接OC，当PQ⊥OC时，求出t的值；
（3）连结PO，PQ，是否存在t的值，使△OPQ成为以PQ为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用运动时间是2秒，求出PC，CQ再用勾股定理求解即可；
（2）由直角三角形的性质，判断出∠ACO=60°，结合PQ⊥OC得出∠CPQ=30°，利用三角函数求解即可；
（3）利用直角三角形的性质和中位线，得出∠PON=∠MOQ，再用等角的正切值相等建立方程，分两种情况讨论计算即可．

解答 解：∵点P从A出发沿AC向C点以1cm/s的速度匀速移动，
∴AP=t，
∴CP=6-t，
∵点Q从C出发沿CB向B点以$\sqrt{3}$cm/s的速度匀速移动，
∴CQ=$\sqrt{3}$t，
（1）当t=2时，PC=4，CQ=2$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，
根据勾股定理得，PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=12cm，
∴∠B=30°，∠A=60°，BC=6$\sqrt{3}$，
∵点O为AB中点，
∴OA=OC，
∴∠ACO=60°，
设OC和PQ的交点为D，
∴PQ⊥OC，
∴∠PDC=90°，
∴∠CPQ=30°，
在Rt△PCQ中，tan∠CPQ=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{\sqrt{3}t}{6-t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，
（3）存在，如图

过点O作ON⊥AC，OM⊥BC，
∵点O是AB中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC=3，CM=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，ON=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}$AC=3，∠MON=90°，
∵△OPQ成为以PQ为斜边的直角三角形，
∴∠PON=∠MOQ，
∴tan∠PON=tan∠MOQ，
∵tan∠PON=$\frac{PN}{ON}$，tan∠MOQ=$\frac{MQ}{OM}$，
∴$\frac{PN}{ON}=\frac{MQ}{OM}$
①当t≥3时，PN=AN-AP=3-t，MQ=CM-CQ=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴$\frac{3-t}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{3}$
∴t=3，
②当3＜t＜6时，
PN=AP-AN=t-3，MQ=CQ-CM=$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{t-3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}t-3\sqrt{3}}{3}$，
∴t=3（舍），此种情况不存在；
即：存在，t=3时，△OPQ成为以PQ为斜边的直角三角形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是利用等角的同名三角函数相等建立方程求解时间t，难点是辅助线的作法．