题目内容

如图，在平面直角坐标系中半径为3的⊙O分别交坐标轴A、B、C、D．圆上点M在第一象限，且∠MOA=30°，点P（a，0）在x轴上，且a＞3

（1）若直线PM与⊙O相切于点M，如图1，则a=
 
；
（2）若直线PM恰好过点B，如图2，求阴影部分的面积；
（3）若直线PM与⊙O相交，另一个交点为N
①是否存在满足条件的实数a使PM与MN的长相等？若存在，求出a的值；不存在，说明理由；
②若N在第一象限内，设y=MN2，求y关于a的函数关系式，并直接写出a的取值范围．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）由条件可知△PMO为直角三角形，由三角函数可求得OP的长，即可得出a的值；
（2）由条件可知△BOM为等边三角形，可得出MP=BM，可求得△PMO的面积，再求出扇形OAM的面积，可求出阴影部分的面积；
（3）①由（2）可知当N点在B点位置时满足条件MN=PM，此时可求得a的值；
②过M作MF⊥OP，在Rt△FMP中可用a表示出PM，再利用切割线定理得出MN的值，从而可求出y与a的函数关系式．
解答：解：（1）∵直线PM与⊙O相切于点M，
∴∠OMP=90°，
∵∠MOA=30°，
∴
OM
OP
=sin30°，
∴
3
OP
=
3
2
，
∴OP=2
3
，
∴a=2
3
，
故答案为：2
3
；

（2）∵∠MOA=30°，
∴∠BOM=60°，且OB=OM，
∴△BOM为等边三角形，
∴∠BPO=30°，
∴BO=BM=MP=3，由勾股定理可得OP=3
3
，
∴S△OMP=
1
2
S△BOP=
1
2
×
1
2
×3×3
3
=
9
3
4
，
∵∠MOA=30°，
∴S扇形MOA=
1
12
π×32=
3π
4
，
∴S阴影=S△OMP-S扇形MOA=
9
3
4
-
3π
4
；

（3）①存在，a=3
3
，理由如下：
当N点在B点位置时，由（2）可知△BOM为等边三角形，∠BPO=30°，
∴NM=PM=OM，
在Rt△NOP中，ON=3，可求得OP=3
3
，即a=3
3
，
所以当a=3
3
时，PM=MN；
②如图，过M点作MF⊥OP，交OP于点F，
则MF=
1
2
OM=
3
2
，OF=
3
3
2
，PF=OP-OF=a-
3
3
2
，
在Rt△PFM中，由勾股定理可得PM=
MF2+FP2
=
a2-3
3
a+9
，
又由切割线定理可知PM•PN=PA•PC，
即PM（PM+MN）=（a-3）（a+3），
∴
a2-3
3
a+9
（
a2-3
3
a+9
+MN）=a2-9，
整理可得：MN=
3
3
a-18
a2-3
3
a+9
，
∴y=MN2=
27a2-108
3
a+324
a2-3
3
a+9
((2
3
＜a＜3
3
))．
点评：本题主要考查切线的性质及切割线定理、含30°角的直角三角形的性质等知识的综合应用，在（2）中判断出△BOM为等边三角形是解题的关键，在（3）②中利用a表示出PM是解题的关键．
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=
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