Question

3．已知抛物线y=x²-px+$\frac{p}{2}$-$\frac{1}{4}$．
（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出ρ的值，解一元二次方程即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式以及非负数的性质解答．

解答 解：（1）对于抛物线y=x²-px+$\frac{p}{2}$-$\frac{1}{4}$，
将x=0，y=1代入得：1=$\frac{p}{2}$-$\frac{1}{4}$，
解得，ρ=$\frac{5}{2}$，
则抛物线解析式为：y=x²-$\frac{5}{2}$x+1，
令y=0，得到x²-$\frac{5}{2}$x+1=0，
解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
则抛物线与x轴交点的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）、（2，0）；
（2）对于一元二次方程x²-px+$\frac{p}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，
∵△=p²-4（$\frac{p}{2}$-$\frac{1}{4}$）=p²-2p+1=（p-1）²≥0，
∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标的求法是令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．