Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-5，0）、（-2，0）．点P在抛物线y=-2x²+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15．

Answer 1

分析 根据坐标先求AB的长，所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小，因此只要讨论当0≤m≤3时，P的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标D（1，4），由对称性可知：x=1时，P的纵坐标最大，此时△PAB的面积S最大；当x=3时，P的纵坐标最小，此时△PAB的面积S最小．

解答 解：∵点A、B的坐标分别为（-5，0）、（-2，0），
∴AB=3，
y=-2x²+4x+8=-2（x-1）²+10，
∴顶点D（1，10），
由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，
当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x=3时，即m=3，P的纵坐标最小，
y=-2（3-1）²+10=2，
此时S_△PAB=$\frac{1}{2}$×2AB=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
当x=1时，即m=1，P的纵坐标最大是10，
此时S_△PAB=$\frac{1}{2}$×10AB=$\frac{1}{2}$×10×3=15，
∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；
故答案为：3≤S≤15．

点评 本题考查了二次函数的增减性和对称性，及图形和坐标特点、三角形的面积，根据P的纵坐标确定△PAB的面积S的最大值和最小值是本题的关键．