题目内容
7．
南沙群岛自古以来都是中国领土，如图，点A、B、C分别表示南沙群岛的三个小岛，岛C在岛A的北偏东45°方向，岛B在岛C的南偏西15°方向上，岛B在岛A的南偏东30°方向，且岛A、岛B两岛的距离为3海里．（1）求岛A、岛C间的距离；
（2）我国南海某雷达观测站发现一艘不明国籍舰艇正从岛C正东10海里的点P处以20海里/小时的速度接近岛A，其航线为P→C→A（直线行进），而我某海警船正位于岛A西偏南60°方向12海里的点Q处，收到上级命令迅速前往A岛，其航线为先向正东航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为30海里/小时，问海警船能否先于不明国籍舰艇到达岛A？请说明理由．
分析 （1）作AE⊥BC于E，根据题意求出∠ACB和∠B的度数，运用三角函数的概念求出AC即可；
（2）作MF⊥AQ于F，求出AM的长，计算出不明国籍舰艇到达岛A所用的时间和海警船到达岛A所用的时间，比较得到答案．
解答 
解：（1）作AE⊥BC于E，
∵岛C在岛A的北偏东45°方向，岛B在岛C的南偏西15°方向上，
∴∠ACB=30°，
∵岛B在岛A的南偏东30°方向，
∴∠CAB=105°，则∠B=45°，又AB=3，
∴AE=AB•cos45°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
AC=2AE=3$\sqrt{2}$；
（2）作MF⊥AQ于F，
∵海警船位于岛A西偏南60°方向，
∴∠Q=60°，
则∠QMF=30°，
∴QF=$\frac{1}{2}$QM=4，MF=4$\sqrt{3}$，
∴AF=12-4=8，
AM=$\sqrt{A{F}^{2}+M{F}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
不明国籍舰艇到达岛A所用的时间为：（10+3$\sqrt{2}$）÷20=$\frac{1}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{20}$，
海警船到达岛A所用的时间为：（8+4$\sqrt{7}$）÷30=$\frac{4}{15}$+$\frac{2\sqrt{7}}{15}$，
∵$\frac{1}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{20}$＞$\frac{4}{15}$+$\frac{2\sqrt{7}}{15}$，
∴海警船先于不明国籍舰艇到达岛A．
点评 本题考查的是解直角三角形知识的应用，掌握锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值是解题的关键，解答时，正确作出辅助线构造直角三角形、运用锐角三角函数的概念进行解答．
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