Question

12．小明一直对四边形很感兴趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一点，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F．请你跟着他一起解决下列问题：
（1）如图①，若AB=BC，则DE，EF有什么数量关系？请给出证明．
（2）如图②，若∠CAB=30°，则DE，EF又有什么数量关系？请给出证明．
（3）由（1）、（2）这两种特殊情况，小明提出问题：如果在矩形ABCD中，BC=mAB，那DE，EF有什么数量关系？请给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∴∠EAH=45°，得到HE=HA，根据正方形的判定定理证明四边形AHEG是正方形，证明△EDG≌△EFH，得到答案；
（2）根据相似三角形的性质定理解答；
（3）根据相似三角形的性质定理列出比例式解答．

解答 解：（1）DE=EF．
 过点E作EG⊥AD与G，EH⊥AB于H，
则∠EGD=∠EHF=90°，又∠BAD=90°，
∴四边形EGAH是矩形，
∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴矩形ABCD为正方形，
∴∠EAH=45°，
∴HE=HA，
∴四边形AHEG是正方形，
∴EH=EG，∠GEH=90°，
∴∠FED-∠GEF=∠GEH-∠GEF，
即∠DEG=∠FEH，
在△EDG和△EFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠FEH}\\{EG=EH}\\{∠DGE=∠FHE}\end{array}\right.$，
∴△EDG≌△EFH
∴DE=EF；
（2）DE=$\sqrt{3}$EF．
∵∠CAB=30°，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\sqrt{3}$，
同（1）理得，∠EGD=∠EHF=90°，∠DEG=∠FEH
∴△EDG∽△EFH，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{EG}{EH}$=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{3}$EF；
（3）DE=$\frac{1}{m}$EF．
同（2）理得，△EDG∽△EFH，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{EG}{EH}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{m}$，
∴DE=$\frac{1}{m}$EF．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．