Question

9．已知，点D、E分别是等边△ABC的边BC、AB上的点，∠ADE=60°．
（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE=3BE；
（2）如图2，点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证：BE=CM；
（3）如图3，作CF∥AB交ED的延长线于点F，探究三条线段BE、CF、CD之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠BAD=30°，∠ADB=90°，根据直角三角形的性质得到BD=$\frac{1}{2}AB$，BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$AB，于是得到AE=3BE；
（2）由于△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，推出∠1=∠2根据相似三角形的性质得到CM•AB=BE•AC，由于AB=AC，于是得到CM=BE；
（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，点D是BC的中点，
∴∠BAD=30°，∠ADB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}AB$，
∵∠ADE=60°，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$AB，
∴AE=3BE；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠EDA=60°，
∴∠1+∠ADC=120°，
∵∠2+∠ADC=120°，
∴∠1=∠2，
∴△BED∽△CDA，
∴$\frac{BE}{CB}=\frac{BD}{AC}$，即BE•AC=BD•CD，
同理△DCM∽△ABD，∴$\frac{CM}{BD}=\frac{DC}{AB}$，即CM•AB=BD•DC，
∴CM•AB=BE•AC，
∵AB=AC，
∴CM=BE；
（3）FC+BE=DC，由（2）得，△ADC∽△DEB，
∵CF∥BA，
∴△ADC∽△DFC，
∴$\frac{FC}{DC}=\frac{DC}{AC}$，$\frac{BE}{DC}=\frac{DB}{AC}$，
∴$\frac{FC+BE}{DC}=\frac{DC+DB}{AC}$，
∴$\frac{FC+BE}{DC}=\frac{CB}{AC}=1$，
∴FC+BE=DC．

点评 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．