Question

如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接CO，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∵OB=CO，

∴∠B=∠OCB，

∵∠FCA=∠B，

∴∠BCO=∠ACF，

∴∠OCA+∠ACF=90°，

即∠OCF=90°，

∴CF是⊙O的切线；

（2）解：∵直径AB平分弦CD，

∴AB⊥DC，

∴=，

∵AC=4，tan∠ACD=，

∴tan∠B=tan∠ACD==，

∴=，

∴BC=8，

∴在Rt△ABC中，

AB===4，

则⊙O的半径为：2．