Question

20．如图①是“东方之星”救援打捞现场图，小明据此构造出一个如图②所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=100m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长；
（2）由AE+CE求出AC的长，即可求出CD的长．

解答 解：（1）过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，AB=100m，sinA=$\frac{1}{2}$，BE=ABsinA=100×$\frac{1}{2}$=50m，cosA=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$m，
在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD-∠A=75°-30°=45°，
∴BE=CE=30m，
（2）AC=AE+CE=（50+50$\sqrt{3}$）m，
在Rt△ADC中，sinA=$\frac{CD}{AC}$，
则CD=（50+50$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=（25+25$\sqrt{3}$）m．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．