Question

一个反比例函数的图象经过点A（1，3），O是原点．
（1）点B是反比例函数图象上一点，过点B作BC⊥x轴于C，作BD⊥y轴于D，四边形OCBD的周长为8，求OB长．
（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，在反比例函数图象上是否存在点P（记横坐标为m）使得△APA′面积为2m？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，B的坐标是（a，b），则ab=3；四边形OCBD的周长为8，|则a|+|b|=4，根据完全平方公式即可求解；
（2）A′的坐标以及直线AA′的解析式可以求得，然后根据点到直线的距离即可利用m表示出点P到直线 AA’的距离，利用三角形的面积公式即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式是：y=

k

x

，把A的坐标代入得：k=3，
则函数的解析式是：y=

3

x

；
设B的坐标是（a，b），则ab=3，
∵四边形OCBD的周长为8，
∴|a|+|b|=4，
∴OB=

|a|2+|b|2

=

(|a|+|b|)2-2|a||b|

=

16-2×3

=

10

；

（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，则A′的坐标是（-1，-3），
AA’所在直线方程为y=3x，
AA’=2

10

，P坐标为（m，

3

m

）
点P到直线 AA’的距离d=

|3m- 3 m |

1+32

=

|3m- 3 m |

10

面积S=

1

2

×2

10

•

|3m- 3 m |

10

=|3m-

3

m

|=2m，
①3m-

3

m

＞0时，m∈（-1，0）∪（1，+∞）
  3m-

3

m

=2m，解得m=

3

或-

3

（-

3

不合题意，舍去）；
②3m-

3

m

＜0时，m∈（-∞，-1）∪（0，1）
  3m-

3

m

=-2m  解得m=

15

5

或-

15

5

（-

15

5

不合题意，舍去）．

点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及三角形的面积，正确求得P到直线 AA’的距离是关键．