Question

【探究发现】
按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（△ACF）的面积．
（单位：厘米，阴影部分的面积依次用S₁、S₂、S₃表示） 
（1）S₁=

 

cm²；     S₂=

 

cm²；          S₃=

 

cm²．
（2）上题中，重新设定正方形ABCD的边长，AB=

 

cm，并再次分别求出阴影部分（△ACF）的面积：
     S₁=

 

cm²；  S₂=

 

cm²；  S₃=

 

cm²．
（3）归纳总结你的发现：

 

【推理反思】
按（图甲）中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是bcm，大正方形的边长是a cm，求：阴影部分（△ACF）的面积．

【应用拓展】
（1）按（图甲）方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是80cm²，则图甲中阴影三角形的面积是

 

cm²．
（2）如图乙，C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧构造等边三角形△ACD和等边三角形△CBE，若△CBE的面积是1cm²，则图乙中阴影三角形的面积是

 

 cm²．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：【探究发现】
（1）利用面积的和差求阴影部分（△ACF）的面积：S₁=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF，S₂=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF；S₃=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF，然后把大小正方形的边长分别代入计算即可；
（2）若AB=20cm时，与（1）一样方法计算；
（3）根据（1）、（2）的结论得S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}；
【推理反思】
可以与（1）的方法一样得到S_△ACF=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF，再把大小正方形的边长分别代入即可得到S_△ACF=

1

2

a²；
也可以连接DF，根据正方形的性质得∠EDF=∠DCA=45°，则DF∥AC，所以S_△AFC=S_△ADC；
【应用拓展】
（1）根据推理反思的结论计算；
（2）根据等边三角形的性质得∠ACD=∠CBE=60°，则CD∥BE，然后根据同底等高的两个三角形的面积相等求解．

解答：解：【探究发现】
（1）S₁=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×2×（10-2）+2×2+

1

2

×10×10-

1

2

×2×（2+10）=8+4+50-12=50（cm²）；
S₂=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×4×（10-4）+4×4+

1

2

×10×10-

1

2

×4×（4+10）=12+16+50-28=50（cm²）；
S₃=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×8×（10-8）+8×8+

1

2

×10×10-

1

2

×8×（8+10）=8+64+50-72=50（cm²）；
（2）若AB=20cm，
S₁=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×2×（20-2）+2×2+

1

2

×20×20-

1

2

×2×（2+20）=18+4+200-22=200（cm²）；
S₂=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×4×（20-4）+4×4+

1

2

×20×20-

1

2

×4×（4+20）=32+16+200-48=200（cm²）；
S₃=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×8×（20-8）+8×8+

1

2

×20×20-

1

2

×8×（8+20）=48+64+200-72=200（cm²）；
（3）归纳总结得S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}．
故答案为50，50，50；200，200，200；S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}；
【推理反思】
S_△ACF=S_{四边形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×b×（a-b）+b×b+

1

2

×a×a-

1

2

×b×（b+a）=

1

2

ab-

1

2

b²+b²+

1

2

a²-

1

2

b²-

1

2

ab=

1

2

a²；
【应用拓展】
（1）由推理反思得S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

×80cm²=40cm²；
（2）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴∠ACD=60°，∠CBE=60°，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
∴S_△DEB=S_△CBE=1cm²．
故答案为40，1．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质；会利用等底等高证明三角形的面积相等；理解分割法求几何图形的面积．