Question

16．直角△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=40°，则∠1+∠2=130°；
（2）如图2，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（3）如图3，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：∠1-∠2-∠α=90°；
（4）如图4，若点P运动到△ABC形外，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：∠1+∠2-∠α=270°．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接PC．由∠1=∠3+∠DPC，∠2=∠4+∠CPE，推出∠1+∠2=（∠DPC+∠CPE）+（∠3+∠4）=∠α+90°=130°；
（2）结论：∠1+∠2=90°+∠α．连接PC．由∠1=∠3+∠DPC，∠2=∠4+∠CPE，推出∠1+∠2=（∠DPC+∠CPE）+（∠3+∠4）=90°+∠α；
（3）如图3中，结论：∠1-∠2-∠α=90°．由∠1=∠3+∠C，∠3=∠α+∠2，推出∠1=∠α+∠2+90°，即∠1-∠2-∠α=90°；
（4）如图4中，结论：∠1+∠2-∠α=270°．由∠1=∠α+∠3，∠3=∠C+∠PEC，∠PEC=180°-∠2，推出∠1=∠α+∠C+180°-∠2，推出∠1=∠α+90°+180°-∠2，即∠1+∠2-∠α=270°；

解答 解：（1）如图1中，连接PC．

∵∠1=∠3+∠DPC，∠2=∠4+∠CPE，
∴∠1+∠2=（∠DPC+∠CPE）+（∠3+∠4）=∠α+90°=130°，
故答案为130；

（2）如图2中，结论：∠1+∠2=90°+∠α．理由如下：
连接PC．
∵∠1=∠3+∠DPC，∠2=∠4+∠CPE，
∴∠1+∠2=（∠DPC+∠CPE）+（∠3+∠4）=90°+∠α；


（3）如图3中，结论：∠1-∠2-∠α=90°．

理由：∵∠1=∠3+∠C，∠3=∠α+∠2，
∴∠1=∠α+∠2+90°，
∴∠1-∠2-∠α=90°．
故答案为∠1-∠2-∠α=90°；

（4）如图4中，结论：∠1+∠2-∠α=270°．

理由：∵∠1=∠α+∠3，∠3=∠C+∠PEC，∠PEC=180°-∠2，
∴∠1=∠α+∠C+180°-∠2，
∴∠1=∠α+90°+180°-∠2，
∴∠1+∠2-∠α=270°．
故答案为∠1+∠2-∠α=270°；

点评 本题考查三角形综合题、三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和解决问题，属于中考常考题型．