Question

6．一个边长为4的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC，由等腰三角形的性质可得BD=2，根据勾股定理得出AD=2$\sqrt{3}$，结合等边三角形ABC与⊙O等高且⊙O与BC相切于点C得OC=$\sqrt{3}$、∠OCD=90°，作OF⊥CE于点F，从而知∠OCF=30°，利用三角函数求得CF的长，最后根据勾股定理得CE=2CF；
（2）由（1）知OF⊥CE、∠OCF=30°从而得∠COF=60°、OF=OCsin∠OCF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，继而知∠COE=120°，根据S_阴影=S_扇形COE-S_△COE可得答案．

解答 解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∵三角形ABC为等边三角形，且AB=BC=4，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，∠ACB=60°，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵等边三角形ABC与⊙O等高，且⊙O与BC相切于点C，
∴OC=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，∠OCD=90°，
过点O作OF⊥CE于点F，
∴∠OCF=∠OCD-∠ACB=30°，
∴CF=OCcos∠OCF=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则CE=2CF=3；

（2）由（1）知OF⊥CE，∠OCF=30°，
∴∠COF=60°，OF=OCsin∠OCF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COE=120°，
则S_阴影=S_扇形COE-S_△COE
=$\frac{120•π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查等边三角形的性质、垂径定理、切线的性质、三角函数的应用、勾股定理及扇形的面积公式，熟练掌握等边三角形的性质及垂径定理得出圆的半径及圆心角的度数是解题的关键．