题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2，0），B（2，0），AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示．
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积．
（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断△OCD的形状，并加以证明．
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值．
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积．
（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断△OCD的形状，并加以证明．
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=
=
=8，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．
（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．
（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积，根据此思路，进行解答．
| (OP+DB)×OB |
| 2 |
| (2+6)×2 |
| 2 |
（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．
（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积，根据此思路，进行解答．
解答：
解：（1）∵A（-2，0），
∴OA=2，
∵P是半圆O上的点，P在y轴上，
∴OP=2，∠AOP=90°，
∴AC=2，
∴四边形AOPC是正方形，
∴正方形的面积是4，
又∵BD⊥AB，BD=6，
∴梯形OPDB的面积=
=
=8，
∴点P的关联图形的面积是12．
（2）判断△OCD是直角三角形．
证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴△OCD是直角三角形．
（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．
理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=
=
=16为定值，
要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，
∵CD为定长，
∴P到CD的距离就要最小，
连接OC，设交半圆O于点P，
∵AC⊥OA，AC=OA，
∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴OC⊥CD，OC=2
，
∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，则P′H+P′O＞OH＞OC，
∵OC=PC+OP，
∴P′H＞PC，
∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大．
∵CD=4
，CP=2
-2，
∴△PCD的面积=
=
=16，
∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=16-（8-4
）=8+4
．
解：（1）∵A（-2，0），∴OA=2，
∵P是半圆O上的点，P在y轴上，
∴OP=2，∠AOP=90°，
∴AC=2，
∴四边形AOPC是正方形，
∴正方形的面积是4，
又∵BD⊥AB，BD=6，
∴梯形OPDB的面积=
| (OP+DB)×OB |
| 2 |
| (2+6)×2 |
| 2 |
∴点P的关联图形的面积是12．
（2）判断△OCD是直角三角形．
证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴△OCD是直角三角形．
（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．
理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=
| (AC+DB)×AB |
| 2 |
| (2+6)×4 |
| 2 |
要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，
∵CD为定长，
∴P到CD的距离就要最小，
连接OC，设交半圆O于点P，
∵AC⊥OA，AC=OA，
∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
∴OC⊥CD，OC=2
| 2 |
∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，则P′H+P′O＞OH＞OC，
∵OC=PC+OP，
∴P′H＞PC，
∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大．
∵CD=4
| 2 |
| 2 |
∴△PCD的面积=
| (AC+DB)×AB |
| 2 |
| (2+6)×4 |
| 2 |
∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=16-（8-4
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查了圆的相关知识，涉及新定义“关联图形”，同时要注意直角三角形的判定，梯形的面积的运算，强调逻辑推理，注重数形结合．
练习册系列答案
相关题目
如图，平面上的6个点可以构成5个正三角形，若在此基础上，再增加10个正三角形，那么至少还需添加
如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于灯塔P南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P北偏东30°方向上的B处．
如图，已知圆锥的底面半径OA=3cm，高SO=4cm，则该圆锥的侧面积为