Question

18．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA长为半径作半圆，交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是该半圆的切线；
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、OE，由条件可证明△BOE≌△DOE，可证得∠ODE=90°，可证得结论；
（2）利用（1）的结论可求得BE，则可求得OB，在Rt△ABD中利用直角三角形的性质可求得AD的长．

解答 （1）证明：
连结OD、OE，如图，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠A，∠DOE=∠ADO，
∵∠ODA=∠OAD，
∴∠BOE=∠DOE，
在△BOE和△DOE中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DE}\\{∠BOE=∠DOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠OBE=∠ODE，
∵∠OBE=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是圆O的切线；
（2）∵∠BOE=∠A=30°，BE=DE=2，
∴OB=OA=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$
在Rt△BAD中，∠A=30°，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∴AD=6．

点评 本题主要考查切线的性质，构造直角三角形全等是解题的关键，注意直角三角形性质的运用．