Question

3．如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在y轴上，对角线AC，BD相交于点E，∠AEB=60°，AC=10，AD=7，反比例函数y=$\frac{x}{k}$经过?ABCD的顶点A，则k的值为15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先过B作BG⊥AC于G，则Rt△BEG中，∠EBG=30°，在Rt△BCG中，依据勾股定理可得方程（5+a）²+（$\sqrt{3}$a）²=7²，解得BG=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，求得?ABCD的面积，进而得到k的值．

解答 解：如图所示，过B作BG⊥AC于G，则Rt△BEG中，∠EBG=30°，
设EG=a，则BE=2a，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∵AC=10，AD=7，
∴BC=7，CE=5，
∴CG=5+a，
∵Rt△BCG中，BG²+CG²=BC²，
∴（5+a）²+（$\sqrt{3}$a）²=7²，
即2a²+5a-12=0，
∴（a+4）（2a-3）=0，
解得：a=$\frac{3}{2}$，a=-4（舍去）
∴BG=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面积=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$×10×$\frac{3}{2}\sqrt{3}$=15$\sqrt{3}$，
设A（x，y），则OB=x，AB=y，k=xy，
又∵AB⊥OB，
∴?ABCD的面积=AB×OB，
∴xy=15$\sqrt{3}$，
∴k=15$\sqrt{3}$．
故答案为：15$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．解题时注意方程思想的运用．