Question

已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O₁，O₂，P是AB的中点.
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，则有结论①△PO₁E≌△FO₂P，②四边形PO₁CO₂是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O₁的切线，求证：AB²=BC²+3AC²。

Answer 1

解：（1）∵P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点， ∴AP=BP，AO1=BO2，，， ∴四边形PO1CO2是平行四边形， ∵AC=BC， ∴PO1=PO2， ∴四边形PO1CO2是菱形；
（2）结论①成立，结论②不成立， 结论①证明如下： ∵P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点， ∴AP=BP，AO1=BO2，，， 即PO1=BO2，AO1=PO2， ∴△APO1≌△BPO2（SSS）；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b， ∴；， 过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点， ∵PC⊥AD，BD⊥AD， ∴PC∥BD， 又∵AP=BP， ∴CD=a，BD=2b，BC2=2a2+4b2， ∴， ∴AB2=BC2+3AC2。