Question

7．定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）点A坐标为（2，2$\sqrt{3}$），AB⊥x轴于B点，在E（2，1），F（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）这三个点中，其中是△AOB自相似点的是F，G（填字母）；
（2）若点M是曲线C：y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上的一个动点，N为x轴正半轴上一个动点；
①如图2，k=3$\sqrt{3}$，M点横坐标为3，且NM=NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；
②若k=1，点N为（2，0），且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有4个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．只要证明△OBG∽△OAB，可得点F是自相似点，△FOB∽△BAO，可得点F是自相似点．
（2）①如图2，过点M作MG⊥x轴于G点．由△P₁ON∽△NOM，△MP₂N∽△MNO，推出∠OP₁N=∠MNO=120°，∠MP₂N=∠MNO=120°，推出∠NP₁P₂=∠NP₂P₁=60°，推出△NP₁P₂是等边三角形，推出OP₁=P₁P₂=P₂M，推出P₁的横坐标为1，P₂的横坐标为2，代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即可解决问题．
②以O为圆心2为半径作圆交反比例函数于M₁，M₂，以N为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于M₃，M₄．满足条件的点M有4个．

解答 解：（1）如图1中，连接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．

由题意可知点G在OA上，
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=60°，
∵tan∠GBM=$\frac{GM}{BM}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBG=30°，
∴∠BOG=∠AOB，∠OBG=∠A，
∴△OBG∽△OAB，
∴点F是自相似点，
同理可得∠FON=∠A=30°，∠FBO=∠AOB=60°，
∴△FOB∽△BAO，
∴点F是自相似点，
故答案为F，G．

（2）①如图2，过点M作MG⊥x轴于G点．

∵M点的横坐标为3，
∴y=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴M（3，$\sqrt{3}$），
∴OM=2$\sqrt{3}$，∠MON=∠NMO=30°，∠ONM=120°，
直线OM的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△MHG中，∠MGN=90°，MN²=MG²+NG²，
设NM=NO=m，则NG=3-m，
∴m²=（3-m）²+（$\sqrt{3}$）²，
∴ON=MN=m=2，
∵△P₁ON∽△NOM，△MP₂N∽△MNO，
∴∠OP₁N=∠MNO=120°，∠MP₂N=∠MNO=120°，
∴∠NP₁P₂=∠NP₂P₁=60°，
∴△NP₁P₂是等边三角形，
∴OP₁=P₁P₂=P₂M，
∴P₁的横坐标为1，P₂的横坐标为2，代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
可得P₁（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P₂（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
综上所述，P点坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$））或（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

②如图3中，满足条件的点M有4个．

以O为圆心2为半径作圆交反比例函数于M₁，M₂，以N为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于M₃，M₄．
故答案为4．

点评 本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．