Question

4．如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，作∠DAF=90°，且AF=AD，过点F作EF∥AD，且EF=AF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD=AC，求证：点C在线段DE的垂直平分线上．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出AD=AF，∠FAD=90°=∠BAC，求出∠FAC=∠BAD，证出△ABD≌△ACF，推出∠B=∠FCA即可；
（2）根据△ABD≌△ACF，推出BD=CF=AC，求出∠DAC=∠EFC，根据SAS推出△DAC≌△EFC，即可得出CD=CE．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
又∵AB=AC，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=∠B=45°，
∴∠BCF=90°，
∴FC⊥BC；
（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=FC，
又∵BD=AC，
∴AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠DAF=90°，EF∥AD，
∴∠DAF=∠AFE=90°，
∴∠DAC=∠EFC，
∵AD=AF，EF=AF，
∴AD=FE，
∴△ADC≌△FEC，
∴CD=CE，
∴点C在线段DE的垂直平分线上．

点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．