Question

2．抛物线y=ax²+c与x轴交于A，B两点，顶点C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，-3），B（4，0）．D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，且D与B分布位于直线OP的两侧，求点C与点D的坐标；
（2）如图2，A，B是抛物线y=ax²+c与x轴的两个交点，直线PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当点P在x轴下方的抛物线上运动时，$\frac{OE+OF}{OC}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由（记OA=OB=t）

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求函数解析式，可得答案；根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．

解答 解：（1）将P（1，-3），B（4，0）代入y=ax²+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$．
∴C（0，-$\frac{16}{5}$）
如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，-3），
得D（-1，-3）；

（2）点P运动时，$\frac{OE+OF}{OC}$是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），则at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴$\frac{PQ}{OF}$=$\frac{BQ}{BO}$，
∴OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$=amt+at²．
同理OE=-amt+at²．
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC．
∴$\frac{OE+OF}{OC}$=2．

点评 本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键；（2）利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键．