Question

17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上的一点，连接AE，AF平分∠DAE交DC于点F，连接BD分别交AE，AF于点G，H，将△ADH沿直线AD翻折，点H落在点H′处，连接GH′，H′F，FG，若DF=FC，则△H′GF的面积是4．

Answer 1

分析 如图，作辅助线，构建直角三角形，利用S_△H′GF=S_{梯形H′GQP}-S_△H′PF-S_△GQF求出面积；根据勾股定理列方程先求EC=1，由平行线得三角形相似列比例式分别求GQ、PQ、H'P的长，代入最后可得结论．

解答 解：如图，∵DF=FC，DC=4，
∴DF=FC=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，
在Rt△ADF中，AD=4，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
同理可得：BD=4$\sqrt{2}$，
∵AB∥DF，
∴△ABH∽△FDH，
∴$\frac{BH}{DH}$=$\frac{AB}{DF}=\frac{4}{2}$=2，
∴DH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
由折叠得：DH′=DH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，∠ADH′=∠ADH=45°，
过H′作H′P⊥CD，交CD的延长线于P，过G作GQ⊥CD于Q，
∴∠HDP=45°，
∴H′P=PD=$\frac{4}{3}$，
连接EF，过F作FK⊥AE于K，
∵AF平分∠EAD，
∴DF=FK=2，
∴FK=FC=2，
∵EF=EF，
∴Rt△FEK≌Rt△FEC（HL），
∴EK=EC，
易得△ADF≌△AKF，
∴AD=AK=4，
设EC=x，则BE=4-x，AE=4+x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：4²+（4-x）²=（4+x）²，
x=1，
∴BE=3，EC=1，
∵AD∥BC，
∴△AGD∽△EGB，
∴$\frac{DG}{BG}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{DG}{DB}=\frac{4}{7}$，
∵GQ∥BC，
∴△DGQ∽△DBC，
∴$\frac{GQ}{BC}$=$\frac{DQ}{DC}$=$\frac{DG}{DB}$=$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{GQ}{4}$=$\frac{4}{7}$=$\frac{DQ}{4}$，
∴GQ=DQ=$\frac{16}{7}$，
∴FQ=DQ-DF=$\frac{16}{7}$-2=$\frac{2}{7}$，
∴S_△H′GF=S_{梯形H′GQP}-S_△H′PF-S_△GQF，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{3}$+$\frac{16}{7}$）（$\frac{4}{3}$+$\frac{16}{7}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$（\frac{4}{3}+2）$-$\frac{1}{2}×\frac{2}{7}×\frac{16}{7}$，
=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、角平分线的性质等知识，有难度，作辅助线证明EC=1是关键．