题目内容
在△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE为角平分线，则线段AE的长为 ．
考点：勾股定理,角平分线的性质
专题：
分析：因为三角形BC边上的高AD位置不确定，所以要分两种情况分类即高AD在三角形ABC的外边和 高AD在AC的右边时，分别求出线段AE的长即可．
解答：解：（1）高AD在三角形ABC的外边：
在直角三角形ABD中根据勾股定理得：BD=9，CD=16
∴BC=9+16=25，
∵BC2=625，AB2=225，AC2=400，
∴AC2+AB2=BC2
∴∠A=90，
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=45°，
∴sinB=
，
根据角平分线定理：
=
=
，
∴BE=
，
在三角形ABE中由正弦定理得，
=
∴AE=
；
（2）高AD在AC的右边：BD=9，CD=16，
∴BC=16-9=7，
在ABC中根据角平分线定理，
∵
=
=
∴BE=3，CE=4
在ABE中用余弦定理：
AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos∠ABE=288
∴AE=12
，
故答案为：
或12
．
在直角三角形ABD中根据勾股定理得：BD=9，CD=16
∴BC=9+16=25，
∵BC2=625，AB2=225，AC2=400，
∴AC2+AB2=BC2
∴∠A=90，
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=45°，
∴sinB=
| 4 |
| 5 |
根据角平分线定理：
| AB |
| AC |
| BE |
| CE |
| 3 |
| 4 |
∴BE=
| 75 |
| 7 |
在三角形ABE中由正弦定理得，
| AE |
| sin60° |
| BE |
| sin45° |
∴AE=
60
| ||
| 7 |
（2）高AD在AC的右边：BD=9，CD=16，
∴BC=16-9=7，
在ABC中根据角平分线定理，
∵
| AB |
| AC |
| BE |
| CE |
| 3 |
| 4 |
∴BE=3，CE=4
在ABE中用余弦定理：
AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos∠ABE=288
∴AE=12
| 2 |
故答案为：
60
| ||
| 7 |
| 2 |
点评：本题考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用、角平分线性质定理、特殊角的锐角三角函数、正选定理和余弦定理的运用，题目的综合性较强，难度较大．
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