Question

2．抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点A（2，0）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁适当平移，使平移后的抛物线C₂的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C₂与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与y轴的交点坐标求得c=3；根据对称轴为x=2来求b；
（2）抛物线C₂与△OAB的边界总有两个公共点，即抛物线与线段OB有2个交点时，k的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$与y轴交于点C（0，3），
∴c=3．                                     
∵抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$的对称轴为x=2，
∴$-\frac{b}{{2×\frac{1}{2}}}=2$，
解得b=-2，
∴抛物线C₁的解析式为$y=\frac{1}{2}{x^2}-2x+3$．

（2）由题意，抛物线C₂的解析式为$y=\frac{1}{2}{x^2}+k$．   
当抛物线经过点A（2，0）时，$\frac{1}{2}×{2^2}+k=0$，
解得k=-2．                            
∵O（0，0），B（2，2），
∴直线OB的解析式为y=x．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=\frac{1}{2}{x^2}+k\end{array}\right.$，
得x²-2x+2k=0，①
当△=（-2）²-4×1×2k=0，即$k=\frac{1}{2}$时，
抛物线C₂与直线OB只有一个公共点，
此时方程①化为x²-2x+1=0，
解得x=1，
即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．
∴k的取值范围是$-2＜k＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换．解答（2）时，利用了“数形结合”的数学思想，使比较抽象的问题变得直观化，降低了解题的难度．