Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E在AC上，且AB=AD，CB=CE．
（1）求∠EBD的度数；
（2）若∠ABC=100°，其他条件不变，∠EBD的度数又是多少？
（3）若∠ABC=α°，其他条件不变，试用含α的代数式表示∠EBD．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）首先∠A=x°，根据∠ABC=90°得到∠C=（90-x）°，利用AB=AD，CE=CB，得到∠ABD=∠ADB，∠BEC=∠EBC，从而得到∠ADB=（

180-x

2

）°=（90-

x

2

）°，∠EBC=[180-（90-x）]÷2=[45+

x

2

]°，利用∠EBD=∠EBC-∠DBC=（45+

x

2

）°-（

x

2

）°=45°求解即可．
（2）首先∠A=x°，根据∠ABC=100°得到∠C=（80-x）°，利用AB=AD，CE=CB，得到∠ABD=∠ADB，∠BEC=∠EBC，从而得到∠ADB=（

180-x

2

）°=（90-

x

2

）°，∠EBC=[180-（80-x）]÷2=[50+

x

2

]°，利用∠EBD=∠EBC-∠DBC=（50+

x

2

）°-（10+

x

2

）°=40°求解即可．
（3）首先∠A=x°，根据∠ABC=α°得到∠C=（180-α-x）°，利用AB=AD，CE=CB，得到∠ABD=∠ADB，∠BEC=∠EBC，从而得到∠ADB=（

180-x

2

）°=（90-

x

2

）°，∠EBC=[180-（180-α-x）]÷2=[

α

2

+

x

2

]°，利用∠EBD=∠EBC-∠DBC=（

α

2

+

x

2

）°-（α-90+

x

2

）°=（90-

α

2

）°求解即可．

解答：解：（1）设∠A=x°，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=（90-x）°，
∵AB=AD，CE=CB，
∴∠ABD=∠ADB，∠BEC=∠EBC，
∠ADB=（

180-x

2

）°=（90-

x

2

）°，∠EBC=[180-（90-x）]÷2=[45+

x

2

]°
∴∠DBC=∠ADB-∠C=（90-

x

2

）°-（90-x）°=（

x

2

）°，
∴∠EBD=∠EBC-∠DBC=（45+

x

2

）°-（

x

2

）°=45°；

（2）设∠A=x°，
∵∠ABC=100°，
∴∠C=（80-x）°，
∵AB=AD，CE=CB，
∴∠ABD=∠ADB，∠BEC=∠EBC，
∠ADB=（

180-x

2

）°=（90-

x

2

）°，∠EBC=[180-（80-x）]÷2=[50+

x

2

]°
∴∠DBC=∠ADB-∠C=（90-

x

2

）°-（80-x）°=（10°+

x

2

）°，
∴∠EBD=∠EBC-∠DBC=（50+

x

2

）°-（10+

x

2

）°=40°；

（3）设∠A=x°，
∵∠ABC=α°，
∴∠C=（180-α-x）°，
∵AB=AD，CE=CB，
∴∠ABD=∠ADB，∠BEC=∠EBC，
∠ADB=（

180-x

2

）°=（90-

x

2

）°，∠EBC=[180-（180-α-x）]÷2=[

α

2

+

x

2

]°
∴∠DBC=∠ADB-∠C=（90-

x

2

）°-（180-α-x）°=（α-90+

x

2

）°，
∴∠EBD=∠EBC-∠DBC=（

α

2

+

x

2

）°-（α-90+

x

2

）°=（90-

α

2

）°．

点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．