Question

18．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE．
（1）求证：OE=CB；
（2）如果OC：OB=1：2，CD=$\sqrt{5}$，则菱形的面积为4．

Answer 1

分析 （1）通过证明四边形OCEB是矩形来推知OE=CB；
（2）利用（1）中的AC⊥BD、OE=CB，结合已知条件，在Rt△BOC中，由勾股定理求得CO=1，OB=2．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∴四边形OCEB是矩形，
∴OE=CB；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=$\sqrt{5}$，
由（1）知，AC⊥BD，OC：OB=1：2，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得 BC²=OC²+OB²，
∴CO=1，OB=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2，BD=4，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$BD•AC=4；
故答案为：4．

点评 本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题时充分利用了菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质．