题目内容
圆O1过梯形ABCD的两顶点A、B，并切腰CD于点N；圆O2过点C、D并切腰AB于点M．求证：AM•MB=CN•ND．考点：相似三角形的判定与性质,切线的性质
专题：证明题
分析：首先得出PM×PA=PN×PD，则A、M、N、D四点共圆，进而得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB，进而求出即可．
解答：
证明：延长BA、CD交于点P，
则有：PM2=PD×PC，PA×PB=PN2（切割线定理），
∵AD∥BC，
∴
=
，
∴以上三式相乘可得：PM×PA=PN×PD，
∴A、M、N、D四点共圆，
∴∠ADC+∠NMA=180°，
又∵∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠NMA=∠DCB，
又∵∠BNC=∠BAN（弦切角定理），
∴△AMN∽△NCB，
∴
=
①，
同理可得：△ADN∽△NMB，
∴
=
②，
①×②得：
×
=
×
∴
=
，
∴AM•MB=CN•ND．
证明：延长BA、CD交于点P，则有：PM2=PD×PC，PA×PB=PN2（切割线定理），
∵AD∥BC，
∴
| PA |
| PB |
| PD |
| PC |
∴以上三式相乘可得：PM×PA=PN×PD，
∴A、M、N、D四点共圆，
∴∠ADC+∠NMA=180°，
又∵∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠NMA=∠DCB，
又∵∠BNC=∠BAN（弦切角定理），
∴△AMN∽△NCB，
∴
| AM |
| AN |
| NC |
| NB |
同理可得：△ADN∽△NMB，
∴
| AN |
| DN |
| NB |
| MB |
①×②得：
| AN |
| DN |
| AM |
| AN |
| NC |
| NB |
| NB |
| MB |
∴
| AM |
| DN |
| NC |
| MB |
∴AM•MB=CN•ND．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及四点共圆等知识，得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB是解题关键．
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