Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，DF⊥BE交BE的延长线于点G，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）若∠DBE=∠CBE，求证：BD=BF．
（3）在（2）的条件下，求CE：ED的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形可知BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，再由BG⊥DF，可知∠CBE﹢∠F=90°，根据AAS定理即可得出△BCE≌△DCF；     
（2）根据ASA定理得出△DBG≌△FBG，由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）延长AD、BG交于点H，由全等三角形的判定定理得出△BCE∽△HDE，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠CBE﹢∠BEC=90°，
又∵BG⊥DF，
∴∠CBE﹢∠F=90°，
∴∠BEC=∠F，
在△BCE与△DCF中，

∠BEC=∠F ∠BCE=∠DCF BC=CD

，
∴△BCE≌△DCF（AAS）           

（2）证明：∵BG⊥DF
∴∠BGD=∠BGF        
在△DBG与△FBG中，

∠BGD=∠BGF BG=BG ∠DBG=∠FBG

，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF；               

（3）解：延长AD、BG交于点H．
∵BD=BF，BG⊥DF，
∴∠DBG∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠H=∠FBG，
∴∠DBH=∠H，
∴DB=DH，
∵AH∥BC，
∴△BCE∽△HDE，
∴CE：DE=BC：DH，
∴CE：DE=BC：DB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC：BD=1：

2

．
∴CE：DE=1：

2

，
∴CE：DE的值为

2

2

．

点评：本题考查的是矩形的性质，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．