Question

12．已知△ABC是边长为6的等边三角形，点E在直线AB上，AB=$\frac{3}{2}$AE，在直线BC上取点D，若ED=EC，则CD的长为2或10．

Answer 1

分析 根据点E在直线AB上，AB=$\frac{3}{2}$AE，可得点E在BA延长线上或线段AB上，据此分两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形，求得CD的长即可．

解答 解：分两种情况：
①当点E在BA延长线上时，过点E作EF⊥BC于F，则
Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∵AB=$\frac{3}{2}$AE=6，
∴AE=4，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（4+6）=5，
∵BC=6，
∴CF=6-5=1，
∵ED=EC，EF⊥CD，
∴CD=2CF=2；
②当点E在线段AB上时，过E作EF⊥BC于F，则
Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（AB-AE）=1，
∵BC=6，
∴CF=6-1=5，
∵ED=EC，EF⊥CD，
∴CD=2CF=10．
综上所述，CD的长为2或10．
故答案为：2或10．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据等腰三角形的三线合一的性质进行计算．