Question

已知AB是⊙O的直径，AB=10cm，弦AC=6cm，弦CE⊥AB，垂足为F，弦CD平分∠ACB．
（1）求CE及BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连结OC，OD，如图，在Rt△ACB中根据勾股定理计算出BC=8，再利用面积法计算出CF=

24

5

，由AB⊥CE，根据垂径定理得CF=EF，则CE=2CF=

48

5

；由于弦CD平分∠ACB，则∠BCD=45°，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD=90°，于是可判断△OBD为等腰直角三角形，所以BD=

2

OB=5

2

cm；
（2）根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S_扇形BOD-S_△BOD进行计算．

解答：解：（1）连结OC，OD，如图，
在Rt△ACB中，∵AC=6，AB=10，
∴BC=

AB2-AC2

=8，
∵CF⊥AB，
∴

1

2

CF•AB=

1

2

AC•BC，
∴CF=

6×8

10

=

24

5

，
∵AB⊥CE，
∴CF=EF，
∴CE=2CF=

48

5

，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠BOD=2∠BCD=90°，
而OB=OD=5，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴BD=

2

OB=5

2

cm；
（2）图中阴影部分的面积=S_扇形BOD-S_△BOD
=

90•π•52

360

-

1

2

•5²
=

25π-50

4

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．