Question

12．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF=DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{2}$-2
• D． 2$\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OP=$\frac{1}{2}$CB=2，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A三点共线时，AP的长度最小．

解答 解：在正方形ABCD中，
∴AB=BC，∠BAE=∠ABC=90°，
在△ABE和△BCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAE=∠ABC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠ABE+∠CBP=90°
∴∠BCF+∠CBP=90°
∴∠BPC=90°
如图，取BC的中点O，连接OP、OA，
则OP=$\frac{1}{2}$BC=2，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2 $\sqrt{5}$，
根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，
∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，
AP的最小值=OA-OP=2 $\sqrt{5}$-2．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出AP最小时点P的位置是解题关键，也是本题的难点．