Question

如图，已知直线y=2x+6交y轴于点A，点B是这条直线上的一点，并且位于第一象限，点P是直线x=8上的一动点，若△APB是等腰直角三角形，则点B的坐标为

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：分三种情况考虑：如图1所示，当∠BAP=90°时，AB=PA，作BE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠BEA=∠AFP=90°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形APF全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=PF，由AE+OA求出OE的长，即为B的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；如图2所示，当∠APB=90°时，AP=PB，作BE⊥直线x=8于E点，作PF⊥直线x=8于F点，可得∠BEP=∠AFP=90°，同理可证△PBE≌△PAF，得出AF=EP，PF=BE，设点P的坐标为（8，m），表示出B点坐标为（14-m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出B点坐标；如图3所示，当∠ABP=90°时，AB=PB，作BE∥x轴交y轴于E点，交直线x=8于F点，可得∠BEA=∠BFP=90°，同理可证△ABE≌△BPF，得出AE=BF，BE=PF，设点B（x，2x+6），则PF=x，BF=AE=8-x，列出关于x的方程，求出x的值，即可确定出B点坐标，综上，得到所有满足题意B的坐标．

解答：解：如图1所示，作BE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠BEA=∠AFP=90°，
∵△BAP为等腰直角三角形，
∴AB=AP，∠BAP=90°，
∴∠EAB+∠PAF=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠EAB=∠APF，
在△ABE和△PAF中，

∠EAB=∠APF ∠AEB=∠PFA=90° AB=AP

，
∴△ABE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点B的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点B的坐标是（4，14）；

如图2所示，当∠APB=90°时，AP=PB，
作BE⊥直线x=8于E点，作PF⊥直线x=8于F点，可得∠BEP=∠AFP=90°，
同理可证△PBE≌△PAF，
∴AF=EP，PF=BE，
设点P的坐标为（8，m），
则B点坐标为（14-m，m+8），由m+8=2（14-m）+6，得m=

26

3

，
∴B点坐标（

16

3

，

50

3

）；

如图3所示，当∠ABP=90°时，AB=PB，
作BE∥x轴交y轴于E点，交直线x=8于F点，可得∠BEA=∠BFP=90°，
同理可证△ABE≌△BPF，
所以AE=BF，BE=PF，
设点B（x，2x+6），则PF=x，BF=AE=8-x，
由2x+6-6=8-x，得x=

8

3

，
求得B点坐标（

8

3

，

34

3

），
综上，符合条件的点B的坐标分别为（4，14），（

16

3

，

50

3

），（

8

3

，

34

3

）．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．