Question

1．已知P是等边△ABC内一点，若PA=3，PB=5，PC=4，则△ABC的面积=$\frac{36+25\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 先把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△ABD，如图，根据旋转的性质得AD=AP=3，BD=PC=4，∠DAP=60°，∠ADB=∠APC，则可判断△ADP为等边三角形，所以DP=AP=3，∠ADP=60°，然后利用勾股定理的逆定理证明△BDP为直角三角形，∠BDP=90°，于是得到∠ADB=∠ADP+∠BDP=150°，作BE⊥AD于E，如图，先计算∠BDE=30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE=$\frac{1}{2}$BD=2，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，然后在Rt△ABE中利用勾股定理计算AB，最后根据等边三角形的面积公式求解可得．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△ABD，如图，
∴AD=AP=3，BD=PC=4，∠DAP=60°，∠ADB=∠APC，
∴△ADP为等边三角形，
∴DP=AP=3，∠ADP=60°，
在△BDP中，∵DP=3，DB=4，BP=5，
而3²+4²=5²，
∴DP²+DB²=BP²，
∴△BDP为直角三角形，∠BDP=90°，
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=60°+90°=150°，
∴∠APC=150°；
作BE⊥AD于E，如图，

∵∠ADB=150°，
∴∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BE=$\frac{1}{2}$BD=2，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，
∴AE=AD+DE=3+2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（3+2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{25+12\sqrt{3}}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{25+12\sqrt{3}}$）²=$\frac{36+25\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：$\frac{36+25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．