题目内容
如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质
专题：
分析：由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=
，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到
=
，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON．
| 10 |
| AO |
| AM |
| AN |
| AC |
解答：解：∵AB=3，BM=1，
∴AM=
，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△ABM，
∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，
∴AN=
，MN=
，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=3
，
∴AO=
，
∵
=
，
=
，
∴
=
，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴
=
=
，
∴ON=
．
故答案为：
．
∴AM=
| 10 |
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△ABM，
∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，
∴AN=
9
| ||
| 10 |
| ||
| 10 |
∵AB=3，CD=3，
∴AC=3
| 2 |
∴AO=
3
| ||
| 2 |
∵
| AO |
| AM |
3
| ||
| 10 |
| AN |
| AC |
3
| ||
| 10 |
∴
| AO |
| AM |
| AN |
| AC |
∴△AON∽△AMC，
∴
| ON |
| MC |
| AO |
| AM |
3
| ||
| 10 |
∴ON=
6
| ||
| 5 |
故答案为：
6
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，由相似得到线段的比相等再证明相似是本题的关键．
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如图，
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