Question

19．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S₁；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S₂．
（1）用含a、b的代数式分别表示S₁、S₂；
（2）若a+b=10，ab=23，求S₁+S₂的值；
（3）当S₁+S₂=29时，求出图3中阴影部分的面积S₃．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S₁、S₂；
（2）根据S₁+S₂=a²-b²+2b²-ab=a²+b²-ab，将a+b=10，ab=23代入进行计算即可；
（3）根据S₃=$\frac{1}{2}$（a²+b²-ab），S₁+S₂=a²+b²-ab=29，即可得到阴影部分的面积S₃．

解答 解：（1）由图可得，S₁=a²-b²，S₂=2b²-ab；

（2）S₁+S₂=a²-b²+2b²-ab=a²+b²-ab，
∵a+b=10，ab=23，
∴S₁+S₂=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=100-3×23=31；

（3）由图可得，S₃=a²+b²-$\frac{1}{2}$b（a+b）-$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$（a²+b²-ab），
∵S₁+S₂=a²+b²-ab=29，
∴S₃=$\frac{1}{2}$×29=$\frac{29}{2}$．

点评 本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．