题目内容
8．如图1，△ABC为等边三角形，AB=6，在直角三角板DEF中∠F=90°，∠FDE=60°，点D在边BC上运动，边DF始终经过点A，DE交AC于点G．（1）求证：△ABD∽△DCG；
（2）设BD=x，若CG=$\frac{5}{6}$，求x的值；
（3）如图2，当D运动到BC中点时，点P为线段AD上一动点，连接CP，将线段CP绕着点C逆时针旋转60°得到
CP′，连接BP′，DP′，①求∠CBP′的度数；②求DP′的最小值．
分析 （1）①利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠BAD=∠CDG，再利用两角相等的三角形相似求解．
（2）利用前面所得的三角形相似，由对应边成比例，可求得x的值．
（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ACP≌△BCP′，从而∠CAP=∠CBP′，然后根据等腰三角形的“三线合一”性质，得到∠CBP′=30°．
②根据“垂线段最短”这一定理，当∠BP′D=90°时，DP′最短．
解答 解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADG+∠CDG，
∴∠B+∠BAD=∠ADG+∠CDG，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠ADG=60°，
∴∠BAD=∠CDG，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCG．
（2）由（1）知△ABD∽△DCG，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CG}$，
∵BD=x，CD=6-x，AB=6，CG=$\frac{5}{6}$，
代入得：$\frac{6}{6-x}=\frac{x}{\frac{5}{6}}$，
解得：x=1或5．
（3）①由旋转知∠PCP′=60°，CP=CP′，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACP=∠BCP′，
∴△ACP≌△BCP′，
∠CBP′=∠CAD=30°．
②如图3，
根据“垂线段最短”可知，当DP′⊥BP′时，DP′最短，
∵∠CBP′=30°，
∴DP′=$\frac{1}{2}$BD=1.5．
点评 本题考查了相似形三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是相似三角形的判定定理，以及垂线段最短．
练习册系列答案
相关题目
如图，△ABC与△BEF都是等边三角形，D是BC上一点，且CD=BE，求证：∠EDB=∠CAD．
如图，正方形ABCD中，AB=a（单位：cm），点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E从点A出发，以$\sqrt{2}$cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；下列判断正确的是（ ）
如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．