Question

7．已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°
（1）如图1，若E、F分别在AC、BC边上，猜想AE²、BF²和EF²之间有何等量关系，并证明你的猜想；
（2）若E、F分别在CA、BC的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）

Answer 1

分析 （1）结论：AE²+BF²=EF²．如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．首先证明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再证明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解决问题．
（2）结论不变，证明方法类似．

解答 （1）结论：AE²+BF²=EF²．
理由：如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DB}\\{∠ADM=∠BDF}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE²+AM²=EM²，
∴AE²+BF²=EF²．

（2）如图2中，结论不变．AE²+BF²=EF²

理由：延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．
在△ADM和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DB}\\{∠ADM=∠BDF}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠B=∠MAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴ED⊥FM，∵DM=DF，
∴EM=EF，
在Rt△AEM中，∵AE²+AM²=EM²，
∴AE²+BF²=EF²．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．